02-12-2024 - Analytic Geometry - Quadrics [EN]-[IT]

image.png


~~~ La versione in italiano inizia subito dopo la versione in inglese ~~~


ENGLISH
02-12-2024 - Analytic Geometry - Quadrics [EN]-[IT]
With this post I would like to give a brief instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_53)

Quadrics
What are they
Quadrics are algebraic surfaces of degree two and almost all the ideas about conics can be generalized to quadrics.

Definition
A quadratic is an algebraic surface of degree 2, that is, it is the set of points that satisfy a polynomial equation p(x,y,z)=0 of degree 2.
For example, spheres, cones and cylinders are quadratics of degree 2.
A pair of planes is a quadratic. In fact, its equation

image.png

is a polynomial equation of degree 2.

Observation
The homogeneous equation of a quadratic can be thought of as a quadratic form.
The matrix associated with it is a 4 x 4 symmetric matrix A such that

image.png

Further definition
Given a quadratic S with homogeneous equation

image.png

with the notation of the previous observation, the matrix A is called matrix associated with the quadratic S.

Degenerate Quadratics
A quadratic with associated matrix A is said to be degenerate if the determinant of A is equal to 0.

image.png

Euclidean classification of quadrics
A non-degenerate quadric S with associated matrix A can be represented by one of the following Euclidean canonical forms with an appropriate choice of the Cartesian reference system.
Below are their algebraic representations.

-real ellipsoid

image.png

-imaginary ellipsoid

image.png

-hyperboloid elliptical

image.png

-hyperbolic hyperboloid

image.png

-paraboloid elliptic

image.png

-hyperbolic paraboloid

image.png

Conclusions
In analytical geometry, quadrics are second-degree algebraic surfaces in three-dimensional space (ℝ³), described by a general equation written as follows:

image.png

Question
In my opinion, quadrics are a little-known topic in the study world and are a fairly complex part of analytical geometry, do you also think so or not?



[ITALIAN]
02-12-2024 - Geometria analitica - Quadriche [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_53)

Le quadriche
Cosa sono
le quadriche sono superfici algebriche di grado due e quasi tutte le idee sulle coniche possono essere generalizzate alle quadriche.

Definizione
Una quadratica è una superficie algebrica di grado 2, ossia è l’insieme dei punti che soddisfano un’equazione polinomiale p(x,y,z)=0 di grado 2.
Ad esempio le sfere, i coni ed i cilindri sono quadratiche di grado 2.
Una coppia di piani è una quadratica. Infatti la sua equazione

image.png

è un'equazione polinomiale di grado 2.

Osservazione
L’equazione omogenea di una quadratica può essere pensata come una forma quadratica.
La matrice associata ad essa è una matrice 4 x 4 simmetrica A tale che

image.png

Definizione ulteriore
Data una quadratica S con equazione omogenea

image.png

con la notazione della precedente osservazione, la matrice A è detta matrice associata alla quadratica S.

Quadratiche degeneri
Una quadratica con matrice associata A è detta degenere se il determinante di A è uguale a 0.

image.png

Classificazione euclidea delle quadriche
Una quadrica non degenere S con matrice associata A può essere rappresentata da una delle seguenti forme canoniche euclidee con una scelta opportuna del sistema di riferimento cartesiano.
Qui di seguito le loro rappresentazioni algebriche.

-ellissoide reale

image.png

-ellissoide immaginario

image.png

-iperboloide ellittico

image.png

-iperboloide iperbolico

image.png

-paraboloide ellittico

image.png

-paraboloide iperbolico

image.png

Conclusioni
In geometria analitica, le quadriche sono superfici algebriche di secondo grado nello spazio tridimensionale (ℝ³), descritte da un'equazione generale scritta come segue:

image.png

Domanda
Secondo me, le quadriche sono un argomento poco diffuso nel mondo dello studio e sono una parte della geometria analitica abbastanza complessa, anche secondo voi è così oppure no?

THE END

Sort:  

I'm having fun following these lectures you over on the Blockchain. But I would not say I'm ready to go in full with calculations.

Quanto mi piaceva analisi!!!!

Congratulations @stefano.massari! You have completed the following achievement on the Hive blockchain And have been rewarded with New badge(s)

You have been a buzzy bee and published a post every day of the week.

You can view your badges on your board and compare yourself to others in the Ranking
If you no longer want to receive notifications, reply to this comment with the word STOP

Check out our last posts:

Feedback from the December Hive Power Up Day
Hive Power Up Month Challenge - November 2024 Winners List
Hive Power Up Day - December 1st 2024

!HOPE
!LOL
!INDEED

My review for the world’s strongest tape
It’s not tearable.

Credit: reddit
@stefano.massari, I sent you an $LOLZ on behalf of cryptoyzzy

(8/10)
Farm LOLZ tokens when you Delegate Hive or Hive Tokens.
Click to delegate: 10 - 20 - 50 - 100 HP

(8/25)
@stefano.massari! @cryptoyzzy Totally agrees with your content! so I just sent 1 IDD to your account on behalf of @cryptoyzzy.

Indeed Logo