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ENGLISH
02-06-2026 - Mathematical Analysis - Derivatives [EN]-[IT]
With this post, I would like to provide a brief instruction on the topic in question.
(lesson/article code: LS-24)
image created with artificial intelligence, the software used is ChatGPT
Introduction to Derivatives
I'll try to quickly explain what a derivative is using simple terms.
First, we need to understand the concept of a function; otherwise, we'd lack the foundation for understanding what a derivative is.
So, let's review the concept of a function.
We can say that a function is a mathematical machine into which a value is input and, through a rule, a single output value is produced.
Below is an example.
Let's assume that x=4, so we input the number 4 into this mathematical transformation machine and perform the operation.
So when 4 enters, our function returns 11.
Now we come to the concept of derivative.
The derivative measures how quickly a function changes
Practical example
Let's take the following function
Its derivative is
What does the example above mean?
The example above means that, at each point x, the function x^2 grows at a rate of 2x.
What are derivatives in practice?
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In practice, we have various concepts that can arise from derivatives depending on the scientific context in which we are working.
Below is a practical interpretation in three different fields:
-geometric: slope of the tangent line to the graph
-physics: instantaneous velocity;
-technical/industrial: sensitivity of one quantity to another.
Graph of a Derivative
Below is the graph of a derivative
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The blue line represents the function, in this case f(x) = x^2, the red line represents the derivative, f'(x) = 2x.
This no longer describes the height of the parabola. Instead, it describes the slope of the parabola at each point, that is, it essentially answers the question "How much is the blue curve rising or falling at this point?"
Practical Applications
Derivatives are everywhere, even if we often don't realize it:
1-In physics applications, the derivative allows us to know the speed of a car at any given moment.
2- In industrial applications, used to control production and calculate marginal costs.
3- In financial applications, to understand the sensitivity of an investment's value.
Conclusions
Derivatives are one of the most important tools in mathematical analysis because they allow us to study how one quantity varies with respect to another. From a geometric perspective, the derivative represents the slope of the tangent line to a curve at a given point. From a physical perspective, it describes the instantaneous speed of a phenomenon. In technical and industrial settings, it allows us to evaluate the sensitivity of one variable to variations in another.
Historical Notes and Questions
Derivatives were born in the 17th century to solve a problem that had puzzled mathematicians and physicists for centuries: "How can an instantaneous change be measured?"
Between the 16th and 17th centuries, several mathematicians began studying tangents to curves, but did you know that the official birth of derivatives is attributed to Newton and Leibniz?
ITALIAN
02-06-2026 - Analisi matematica - Le derivate [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(codice lezione/articolo: LS-24)
immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT
Introduzione alle derivate
Provo a spiegare velocemente che cosa è una derivata usando parole semplici.
Prima di tutto dobbiamo aver chiaro il concetto di funzione, altrimenti mancherebbe proprio la base per comprendere cosa è una derivata.
Quindi ripassiamo il concetto di funzione.
Possiamo dire che una funzione è una macchina matematica in cui entra un valore e tramite una regola esce un solo valore di output.
Qui di seguito un esempio.
Pensiamo di avere x=4, facciamo quindi entrare in questa macchina di trasformazione matematica il 4 ed eseguiamo l'operazione.
quindi quando entra 4, la nostra funzione ci restituisce 11.
Ora arriviamo al concetto di derivata.
La derivata misura quanto velocemente cambia una funzione
Esempio pratico
Prendiamo la funzione seguente
la sua derivata è
Cosa significa l'esempio proposto sopra
L'esempio proposto significa che, in ogni punto x, la funzione x^2 cresce con velocità pari a 2x.
Le derivate in pratica cosa sono?
immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT
In pratica abbiamo diversi concetti che possono nascere dalle derivate a seconda dell'ambiente scientifico in cui siamo.
Qui di seguito l'interpretazione pratica in tre campi diversi:
-geometrica: coefficiente angolare della retta tangente al grafico
-fisica: velocità istantanea;
-tecnica/industriale: sensibilità di una grandezza rispetto a un’altra.
Grafico di una derivata
Qui di seguito il grafico di una derivata
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La linea blu rappresenta la funzione, in questo caso f(x) = x^2, la line rossa rappresenta la derivata, f'(x)=2x.
Questa non descrive più l'altezza della parabola. Descrive invece la pendenza della parabola in ogni punto, cioè, in pratica risponde alla domanda "Quanto sta salendo o scendendo la curva blu in questo punto?"
Applicazioni pratiche
Le derivate sono ovunque, anche se spesso non ce ne accorgiamo:
1-Nelle applicazioni fisiche, la derivata permette di sapere la velocità di un auto in ogni istante.
2-Nelle applicazioni industriali, usate per il controllo della produzione e calcolare i costi marginali.
3-Nelle applicazioni finanziarie per comprendere la sensibilità del valore di un investimento.
Conclusioni
Le derivate sono uno degli strumenti più importanti dell'Analisi Matematica perché permettono di studiare come una grandezza varia rispetto a un'altra. Dal punto di vista geometrico, la derivata rappresenta la pendenza della retta tangente a una curva in un determinato punto. Dal punto di vista fisico, descrive la velocità istantanea di un fenomeno. In ambito tecnico e industriale, consente di valutare la sensibilità di una variabile rispetto alle variazioni di un'altra.
Cenni storici e domande
Le derivate nascono nel XVII secolo per risolvere un problema che aveva impegnato matematici e fisici per secoli e cioè, "Come si può misurare una variazione istantanea?"
Tra il XVI e il XVII secolo diversi matematici iniziarono a studiare le tangenti alle curve, ma sapevate che la nascita ufficiale delle derivate viene attribuita a Newton e Leibniz?
THE END