~~~ La versione in italiano inizia subito dopo la versione in inglese ~~~
ENGLISH
18-02-2025 - Analytic geometry - column vectors and standard norm [EN]-[IT]
With this post I would like to give a short instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_67)
column vectors and standard norm
A column vector is a matrix with only one column and several rows. We can also say that it is a vector written in vertical form.
The general form of a column vector in R^4 is expressed as follows:
Standard Norm
The standard norm is also called Euclidean norm and is a measure of the length of a vector in Euclidean space.
This is defined as:
Example
Below is an exercise where I show how to develop an exercise on the standard norm. I will insert the main steps without going into details.
Let's try to understand which of the following column vectors of R4 has standard norm 5?
a
t(2 -2 2 -2).
b
t(2 0 2 -1).
c
t(3 0 -4 0).
d
t(0 -2 0 0).
Process
Let's find the standard norm of a vector v = (v1,v2,v3,v4) in R^4:
Now let's check which of the following vectors has norm 5.
NOTE: I specify what it means that a vector has norm 5. It means that its length (or modulus) is equal to 5 in the reference system considered.
Consideration
If a vector V = (x,y) has norm 5, it means that:
let's think about squaring the expression written before and we will have the following:
Now let's think back to the exercise and calculate the standard for each vector.
Let's take an example with the option a (2,−2,2,−2)
Let's replace the terms
by developing the operation we will have
Not having obtained 5, but 4 we can say that the option a is not the correct answer.
We continue with the various options until we get to C.
We then develop option c (3,0,−4,0)
Conclusions
In conclusion we can summarize that column vectors are vertical representations of sets of numbers and these are widely used in linear algebra. The standard norm is essentially a method for measuring the length of a vector and is useful in geometry, physics and machine learning.
Ultimately, regarding the standard norm we can say that if a vector has a norm of 5, it means that the sum of the squares of its components, under the square root, is 5.
Question
Have you already heard of or studied the standard norm?
[ITALIAN]
18-02-2025 - Geometria analitica - vettori colonna e norma standard [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_67)
vettori colonna e norma standard
Un vettore colonna è una matrice con solo una colonna e diverse righe. Possiamo anche dire che è un vettore scritto in forma verticale.
La forma generale di un vettore colonna in R^4 è espressa così come segue:
Norma Standard
La norma standard viene anche chiamata norma euclidea è una misura della lunghezza di un vettore nello spazio euclideo.
Questa è definita come:
Esempio
Qui di seguito un esercizio dove mostro come si può sviluppare un esercizio sulla norma standard. Inserirò i passaggi principali senza entrare nei dettagli.
Proviamo a capire quale dei seguenti vettori colonna di R4 ha norma standard 5?
a
t(2 -2 2 -2).
b
t(2 0 2 -1).
c
t(3 0 -4 0).
d
t(0 -2 0 0).
Svolgimento
Cerchiamo di individuare la norma standard di un vettore v = (v1,v2,v3,v4) in R^4:
Ora verifichiamo quale tra i seguenti vettori ha norma 5.
NOTA: Specifico cosa significa che un vettore ha norma 5. Significa che la sua lunghezza (o modulo) è pari a 5 nel sistema di riferimento considerato.
Considerazione
Se un vettore V = (x,y) ha norma 5, vuol dire che:
pensiamo ad elevare al quadrato l'espressione scritta prima e avremo quanto segue:
Ora ripensiamo all'esercizio e calcoliamo la norma per ogni vettore.
Facciamo un esempio con l'opzione a (2,−2,2,−2)
Sostituiamo i termini
sviluppando l'operazione avremo
Non avendo ottenuto 5, ma 4 possiamo dire che l'opzione a non è la risposta corretta.
Proseguiamo con le varie opzioni fino ad arrivare alla C.
Sviluppiamo quindi l'opzione c (3,0,−4,0)
Conclusioni
In conclusione possiamo sintetizzare che i vettori colonna sono rappresentazioni verticali di insiemi di numeri e questi sono molto usati in algebra lineare. La norma standard sostanzialmente è un metodo per misurare la lunghezza di un vettore ed è utile in geometria, fisica e machine Learning.
In definitiva, per quanto riguarda la norma standard possiamo dire che se un vettore ha norma 5, significa che la somma dei quadrati delle sue componenti, sotto radice quadrata, è 5.
Domanda
Avevate già sentito parlare oppure proprio studiato la norma standard?
THE END