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ENGLISH
14-02-2025 - Analytical Geometry - Points in Space [EN]-[IT]
With this post I would like to give a brief instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_70)
Points in Space
Analytical geometry is the study of points in space.
Today I would like to address this topic not so much from a theoretical point of view, but from a practical point of view.
Let's try it right away with an exercise.
Exercise
Let's try to understand which of the following points in space belongs to the plane with parametric form
x=2-λ+2ω
y=3-2λ-ω
z=1-λ
List of points in space to be verified:
A-t(-3 3 0)
B-t(3 0 -3)
C-t(0 3 -2)
D-t(-2 0 3)
Below I propose the plane with parametric form
The first thing to do is to verify whether there exist values of λ and ω such that the coordinates of the point satisfy these equations.
Let's proceed with the verification of point A (-3,3,0)
So let's replace x with -3, y with 3 and z with 0
We will have the following system
From the last equation we understand that
λ=1
Now let's work on the first equation. Let's replace λ with 1
after the substitution we will have
Now let's take the second equation and replace λ and ω
we said that λ is 1 and we found that ω is -2.
By performing the substitution we will have
The equations are satisfied, so the point A(-3, 3, 0) belongs to the plane.
If we were to perform the same procedure for the points B, C and D, using the same technique, we would discover that none of these belongs to the plane.
During the analysis of these points we will have that some equations give non-integer numbers as a result, so the point does not belong to the plane.
Conclusions
Analytical geometry in space, drawn from exercises like this, is useful in various practical fields, especially in engineering, computer science and physics. In practice these studies are mostly done in 3D modeling, architecture and autonomous navigation.
Question
Have you ever studied analytic geometry in space at school? Have you ever done exercises similar to this one?
[ITALIAN]
14-02-2025 - Geometria analitica - Punti nello spazio [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_70)
Punti nello spazio
Fa parte di geometria analitica lo studio dei punti nello spazio.
Vorrei oggi affrontare questo argomento non tanto dal punto di vista teorico, ma dal punto di vista pratico.
Proviamo subito con un esercizio.
Esercizio
Proviamo a capire quale dei seguenti punti dello spazio appartiene al piano con forma parametrica
x=2-λ+2ω
y=3-2λ-ω
z=1-λ
Elenco dei punti dello spazio da verificare:
A-t(-3 3 0)
B-t(3 0 -3)
C-t(0 3 -2)
D-t(-2 0 3)
Qui di seguito ripropongo il piano con forma parametrica
La prima cosa da fare è verificare se esistono dei valori di λ e ω tali che le coordinate del punto soddisfino queste equazioni.
Procediamo con la verifica del punto A (-3,3,0)
Andiamo quindi a sostituire la x con -3, la y con 3 e z con 0
Avremo il seguente sistema
Dall'ultima equazione comprendiamo che
λ=1
Ora lavoriamo sulla prima equazione. Sostituiamo λ con 1
dopo la sostituzione avremo
Ora andiamo a prendere la seconda equazione e sostituiamo λ e ω
abbiamo detto che λ è 1 e abbiamo trovato che ω è -2.
Eseguendo la sostituzione avremo
Le equazioni sono soddisfatte, quindi il punto A(-3, 3, 0) appartiene al piano.
Se andassimo ad eseguire lo stesso procedimento per i punti B, C e D, usando la stessa tecnica, scopriremmo che nessuno di questi appartiene al piano.
Durante l'analisi di questi punti avremo che alcune equazioni danno come risultato numeri non interi, quindi il punto non appartiene al piano.
Conclusioni
La geometria analitica nello spazio, tratta da esercizi come questo, serve in diversi ambiti pratici, soprattutto in ingegneria, informatica e fisica. In pratica questi studi vengono soprattutto fatti nella modellazione 3D, in architettura e nella navigazione autonoma.
Domanda
Avete mai trattato a scuola la geometria analitica nello spazio? Avete mai fatto esercizi simili a questo proposto?
THE END
